设f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0。证明: (Ⅰ)存在一点ξ∈(a,b),使得f’(ξ)=2f(ξ); (Ⅱ)存在一点η∈(a,b),使得f’(η)=-3f(η)g’(η)。

admin2017-11-30  40

问题 设f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0。证明:
  (Ⅰ)存在一点ξ∈(a,b),使得f’(ξ)=2f(ξ);
  (Ⅱ)存在一点η∈(a,b),使得f’(η)=-3f(η)g’(η)。

选项

答案(Ⅰ)令φ(x)=e-2xf(x),因为f(a)=f(b)=0,所以φ(a)=φ(b)=0,根据罗尔定理,存在一点ξ∈(a,b),使得φ’(ξ)=0,而φ’(x)=e-2x[f’(x)-2f(x)]且e-2x≠0,所以f’(ξ)=2f(ξ)。 (Ⅱ)令h(x)=f(x)e3g(x),因为f(a)=f(b)=0,所以h(a)=h(b)=0,根据罗尔定理,存在一点η∈(a,b),使得h’(η)=0,而h’(x)=e3g(x)[f’(x)+3f(x)g’(x)]且e3g(x)≠0,所以f’(η)=-3f(η)g’(η)。

解析
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