2. 考研
  3. 设A为三阶实对称矩阵，λ1＝8，λ2＝λ3＝2是其特征值．已知对应λ1＝8的特征向量为α1＝[1，k，1]T，对应λ2＝λ3＝2的一个特征向量为α2＝[－1，1，0]T．试求参数k及λ2＝λ3＝2的一个特征向量和矩阵A．

设A为三阶实对称矩阵，λ1＝8，λ2＝λ3＝2是其特征值．已知对应λ1＝8的特征向量为α1＝[1，k，1]T，对应λ2＝λ3＝2的一个特征向量为α2＝[－1，1，0]T．试求参数k及λ2＝λ3＝2的一个特征向量和矩阵A．

admin2016-01-25  54
问题 设A为三阶实对称矩阵，λ1＝8，λ2＝λ3＝2是其特征值．已知对应λ1＝8的特征向量为α1＝[1，k，1]T，对应λ2＝λ3＝2的一个特征向量为α2＝[－1，1，0]T．试求参数k及λ2＝λ3＝2的一个特征向量和矩阵A．
选项
答案因α1，α2是实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量，故有α1Tα2＝0，即 [1，k，1][*]＝－1＋k＋0＝0， 故有k＝1，即α1＝[1，1，1]T． 设λ2＝λ3＝2的属于A的另一特征向量为α3＝[x1，x2，x3]T，则α1Tα3＝0．为保证α2，α3线性无关，可进一步要求α2Tα3＝0，这样有 [*] 由 [*] 得到基础解系为 [－1／2．－1／2，1]T． 为方便计，取 α3＝[1，1，一2]T． 再由 A[α1，α2，α3]＝[Aα1，Aα2，Aα3]＝[λ1α1，λ2α2，λ3α3] 得 A＝[λ1α1，λ2α2，λ3α3][α1，α2，α3]－1 [*]
解析 利用实对称矩阵特征向量的性质求之．
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考研数学三

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