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已知n维向量α1，α2，…，αs线性无关，如果n维向量β不能由α1，α2，…，αs线性表出，而γ可由α1，α2，…，αs线性表出，证明α1，α1＋α2，α2＋α3，…，αs－1＋αs，β＋γ线性无关。
已知n维向量α1，α2，…，αs线性无关，如果n维向量β不能由α1，α2，…，αs线性表出，而γ可由α1，α2，…，αs线性表出，证明α1，α1＋α2，α2＋α3，…，αs－1＋αs，β＋γ线性无关。
admin
2015-11-16
32
问题
已知n维向量α
1
，α
2
，…，α
s
线性无关，如果n维向量β不能由α
1
，α
2
，…，α
s
线性表出，而γ可由α
1
，α
2
，…，α
s
线性表出，证明α
1
，α
1
＋α
2
，α
2
＋α
3
，…，α
s－1
＋α
s
，β＋γ线性无关。
选项
答案
证一 利用拆项重组法及线性无关的定义证之。 由题设γ可由α
1
，α
2
，…，α
s
线性表出，可设 γ＝c
1
α
1
＋c
2
α
2
＋…＋c
s
α
s
， 又令 k
1
α
1
＋k
2
(α
1
＋α
2
)＋…＋k
s
(α
s
＋α
s－1
)＋k(β＋γ)＝0。 将其拆项重组得到 (k
1
＋k
2
＋kc
1
)α
1
＋(k
2
＋k
3
＋kc
2
)α
2
＋…＋(k
s
＋kc
s
)α
s
＋kβ＝0。 因α
1
，α
2
，…，α
s
线性无关，而β不能由α
1
，α
2
，…，α
s
线性表出，故α
1
，α
2
，…，α
s
，β线性无关，因而 k＝0， k
1
＋k
2
＋kc
1
＝0， k
2
＋k
3
＋kc
2
＝0， …， k
s
＋kc
s
＝0， 即 k
1
＋k
2
＝0，k
2
＋k
3
＝0，…，k
s－1
＋k
s
＝0，k
s
＝0， 解得 k
1
＝k
2
＝…＝k
s－1
＝k
s
＝0， 即α
1
，α
1
＋α
2
，α
2
＋α
3
，…，α
s－1
＋α
s
，β＋γ线性无关。 证二 注意到α
1
，α
2
，…，α
s
，β线性无关，γ＝c
1
α
1
＋c
2
α
2
＋…＋c
s
α
s
，由 [*] 而α
1
，α
2
，…，α
s
，β线性无关，由矩阵表示法即知α
1
，α
2
，…，α
s
，β＋γ线性无关。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/mTw4777K
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考研数学一
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