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设随机变量X和Y相互独立同分布,其分布函数和概率密度分别为F(x)和f(x),则随机变量Z=min{X,Y}的概率密度为
设随机变量X和Y相互独立同分布,其分布函数和概率密度分别为F(x)和f(x),则随机变量Z=min{X,Y}的概率密度为
admin
2020-08-03
54
问题
设随机变量X和Y相互独立同分布,其分布函数和概率密度分别为F(x)和f(x),则随机变量Z=min{X,Y}的概率密度为
选项
A、2F(x)f(x)
B、2[1-F(x)]f(x)
C、2[1-f(x)]F(x)
D、2[1-F(x)][1-f(x)]
答案
B
解析
本题考查随机变量的最大值、最小值分布问题.利用分布函数法解之即可.
解:因F
Z
(x)=P{min(X,Y)≤x}=1-P{min(X,Y)>x}
=1-P{X>x,y>x}=1-P{X>x}P{Y>x)=1-[1-F(x)]
2
,
故f
Z
(x)=
F
Z
(x)=2[1-F(x)]f(x).
注:要掌握以下随机变量的最大值、最小值函数的处理方法:
P{max(X,Y)≤C}=P{X≤C,Y≤C},
P{max(X,Y)>C}=1-P{max(X,Y)≤C}=1-P{X≤C,Y≤C}
=P{X>C}+P{Y>C}-P{X>C,Y>C};
P{min(X,Y)>C}=P{X>C,Y>C},
P{min(X,Y)≤C}=1-P{min(X,y)>C}=1-P{X>C,y>C}
=P{X≤C)+P{Y≤C}-P{X≤C,y≤C}.
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