(2008年试题，17)已知曲线求曲线C上与xOy面的距离最远点和最近点．

admin2019-05-16 15

问题 (2008年试题，17)已知曲线

求曲线C上与xOy面的距离最远点和最近点．

选项

答案曲线C到xOy面的距离就是｜x｜，由曲线C的方程可得到x²+y²=2z²,x+y=5—3x;2z²=x²+y²≥[*]即[*]解得1≤z≤5．当且仅当x=y时一k述不等式中等号成立，将x=y代入到曲线C的方程得到[*]故有｜x｜_max=5，｜z｜_min=1．最远点为(一5，一5，5)，最近点为(1，1，1)．解析二将曲线C的方程中的z消去可得[*]整理得7x²一4xy+7y²+20x+20y一50=0问题就转化成在上述条件下求｜x｜的最值或求z的最值[*]令F(x，y，κ)=z+λ(7x²一4xy+7y²+20x+20y一50)[*]，分别对x，y，λ求偏导得[*]F_λ=7x²=4xy+7y²+20x+20y一50=0联立上述等式解得[*]最远点为(一5，一5，5)，最近点为(1，1，1)．解析三设P(x，y，z)为曲线C上的任意一点，则点P到xOy平面的距离为｜z｜，问题转化为求z²在约束条件x²+y²一2x²=0与x+y+3z=5下的最值点．令拉格朗日函数为F(x，y，z，λ，μ)=x²+y²+λ(x²+y²一2z²)+μ(x+y+3z一5)[*]根据几何意义知，曲线C上存在距离xOy面最远的点和最近的点，故所求点依次为(一5，一5，5)和(1，1，1)．

解析

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