2. 考研
  3. 设A，B均为n阶矩阵，A有n个互不相同的特征值． 证明：(1)若AB=BA，则B相似于对角矩阵； (2)若A的特征向量也是B的特征向量，则AB=BA．

设A，B均为n阶矩阵，A有n个互不相同的特征值． 证明：(1)若AB=BA，则B相似于对角矩阵； (2)若A的特征向量也是B的特征向量，则AB=BA．

admin2020-03-10  78
问题 设A，B均为n阶矩阵，A有n个互不相同的特征值．
  证明：(1)若AB=BA，则B相似于对角矩阵；
  (2)若A的特征向量也是B的特征向量，则AB=BA．
选项
答案设λ1，λ2，…，λn为A的n个互不相同的特征值，则A有n个线性无关特征向量p1，p2，…，pn，记可逆矩阵P=[p1，p2，…，pn]，有 [*] (1)由AB=BA得P-1ABP=P-1BAP，于是P-1AEBP=P-1BEAP． 令E=PP-1，有 (P-1AP)(P-1BP)=(P-1BP)(P-1AP)， 即 A1(P-1BP)=(P-1BP)A1． 下面证明P-1BP是对角矩阵． 设P-1BP=(cij)n×n，则 [*] 比较两边对应元素得 λicij=λjcij[*](λi一λj)cij=0， 当i≠j时，λi≠λj，则cij=0，故 [*] 从而B相似于对角矩阵． (2)若pi(i=1，2，…，n)也是B的特征向量，设对应特征值为μi，即 Bpi=μipi(i=1，2，…，n)， 则有 [*] 从而 P-1ABP=P-1AEBP=(P-1AP)(P-1BP)=A1A2=A2A1 =(P-1BP)(P-1AP)=P-1BAP， 由此可得 AB=BA．
解析
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考研数学三

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