设函数y=y(x)在(一∞,+∞)内具有二阶导数,且y’≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数。 (Ⅰ)试将x=x(y)所满足的微分方程=0变换为y=y(x)满足的微分方程; (Ⅱ)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y’(0)=的特解。

admin2017-12-29  85

问题 设函数y=y(x)在(一∞,+∞)内具有二阶导数,且y’≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数。
(Ⅰ)试将x=x(y)所满足的微分方程=0变换为y=y(x)满足的微分方程;
(Ⅱ)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y’(0)=的特解。

选项

答案(Ⅰ)由反函数的求导公式知[*],于是有 [*] 代入原微分方程得 y"一y=sinx。 (Ⅱ)方程(*)所对应的齐次方程y"一y=0的通解为 y=C1ex+C2 e—x。 设方程(*)的特解为 y*=Acosx+Bsinx, 代入方程(*),求得A=0,B=[*],故y*=[*],因此y"一y=sinx的通解是 y=y+y*=C1ex+C2e—x—[*]sinx。 由y(0)=0,y’(0)=[*],得C1=1,C2=一1。故所求初值问题的特解为 y=ex—e—x一[*]sinx。

解析
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