2. 考研
  3. [2008年] 设A=，则在实数域上与A合同的矩阵为( )．

[2008年] 设A=，则在实数域上与A合同的矩阵为( )．

admin2019-05-10  54
问题 [2008年]  设A=，则在实数域上与A合同的矩阵为(    )．
选项 A、 
B、 
C、 
D、 
答案D
解析 可用多种方法(利用命题2．6．3．1、命题2．6．3．2)判别．
解一  令
由    ∣λE—A∣==(λ一1)2一4=λ2一2λ－3=(λ一3)(λ+1)=0，得A的特征值λ1=3，λ2=一1，即A的正、负惯性指数都为1，于是∣A∣=λ1λ2＜0，但∣A1∣＞0，
∣A2∣＞0，∣A3∣＞0，可见(A)，(B)，(C)中矩阵的正、负惯性指数与A的都不合同，因而A1，
A2，A3与A都不合同．仅(D)入选．
解二  因∣λE－A4∣==(λ一1)2一4=∣λE－A∣，等同于A与A4的特征值相同且其系数也相同，故A与A4相似，又A与A4为同阶实对称矩阵，由命题2．6．3．2知A与A4必合同．仅(D)入选．
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考研数学二

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