设二次型 f(x1,x2,x3)=xTAx=(x1,x2,x3),满足=2,AB=O,其中B= 用正交变换化二次型为标准形,并求所作正交变换;

admin2018-07-26  35

问题 设二次型
f(x1,x2,x3)=xTAx=(x1,x2,x3),满足=2,AB=O,其中B=
用正交变换化二次型为标准形,并求所作正交变换;

选项

答案由题设条件AB=A[*]=O,故B的3个列向量都是Ax=0的解向量,也是A的对应于λ=0的特征向量,其中ξ1=[*],线性无关且正交,[*],故λ=0至少是二重特征值. 又因[*]=,另一个特征值是λ3=2,故λ1=λ2=0是二重特征值.因A是实对称矩阵,故对应λ3=2的特征向量应与ξ1,ξ2正交,设ξ3=(x1,x2, x3)1,则有 [*] 故存在正交变换x=Qy,其中Q=[*],使得f=xTAx=yT[*].

解析
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