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  3. 已知线性方程组 问： (1)a，b为何值时，方程组有解？ (2)有解时，求出方程组导出组的一个基础解系； (3)有解时，求出方程组导出组的全部解．

已知线性方程组 问： (1)a，b为何值时，方程组有解？ (2)有解时，求出方程组导出组的一个基础解系； (3)有解时，求出方程组导出组的全部解．

admin2016-12-16  125
问题 已知线性方程组

问：
(1)a，b为何值时，方程组有解？
(2)有解时，求出方程组导出组的一个基础解系；
(3)有解时，求出方程组导出组的全部解．
选项
答案利用有解的充要条件 [*] 求a，b．A与[*]分别为上述方程组的系数矩阵与增广矩阵，可利用基础解系和特解的简便求法求解： 设非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解，其中A为m×n矩阵．设 秩(A)=秩(A |b)=r， 对增广矩阵[*]用初等行变换，将其化为 [*]=[A1|b1] 其中A1是将A化为含r阶(最高阶)的单位矩阵的矩阵，如果这r阶单位矩阵在A1的第j1 ，j2 ，…，jr列，则基础解系的n一r个解向量α1 ，α2 ，…，αn一r的第j1 ，j2 ，…，jr个分量依次是A1中除r阶单位矩阵所在的r列以外的其余n一r列的前r个分量反号，而α1 ，α2 ，…，αn一r的其余n一r个分量依次组成n一r阶单位矩阵． 而特解η的第j1 ，j2 ，…，jr个分量依次为[*]中最后一列的前r个分量(但不反号)，而η的其余n一r个分量全部取成零． [*] (Ⅰ)当a=1，b=3时，r(A)=2=[*]，方程组有解． (Ⅱ)当a=1，b=3时，对变换矩阵B．进一步用初等行变换将其化为含最高阶单位矩阵(2阶单位矩阵)的矩阵，再用基础解系和特解的简便求法即可写出其基础解系和特解，从而写出其全部解： [*] 则其基础解系含3个解向量： α1=[1，一2，1，0，0]T ， α2=[1，一2，0，1，0]T ， α3=[5，一6，0，0，1]T ， 其一个特解η=[一2，3，0，0，0]T． (Ⅲ)所求的全部解为 X=η+k1α1+k2α2+k3α3 ， 其中k1 ，k2 ，k3为任意常数．
解析
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考研数学三

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