设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)，且f(a)=0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)=f’(ξ)．

admin2016-09-30 40

问题设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)，且f(a)=0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)=

f’(ξ)．

选项

答案令φ(x)=(b一x)^af(x)，显然φ(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，因为φ(a)=φ(b)=0，所以由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，由φ’(x)=(b一x)^a—1[(b一x)f(x)一af(x)]得 (b一ξ)^a—1[(b一ξ)f’(ξ)一af(ξ)]且(b一ξ)^a—1≠0，故f(ξ)=[*]．

解析

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考研数学一

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设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，(a，b)内可导，证明存在ε∈(a，b)使得[f(b)－f(a)]gˊ(ε)＝[g(b)－g(a)]fˊ(ε)
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