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求下列幂级数的和函数并指出收敛域: (Ⅰ)xn; (Ⅱ)n(n+1)xn.
求下列幂级数的和函数并指出收敛域: (Ⅰ)xn; (Ⅱ)n(n+1)xn.
admin
2017-11-13
44
问题
求下列幂级数的和函数并指出收敛域:
(Ⅰ)
x
n
;
(Ⅱ)
n(n+1)x
n
.
选项
答案
(Ⅰ)为求其和函数,先进行代数运算,使其能够通过逐项求导与逐项积分等手段变成几何级数求和.设 [*] 并令S
1
(x)=[*]x
n
,则 [*] =-4ln(1-x),(-1≤x<1),(利用ln(1+t)的展开式) 所以S(x)=S
1
(x)-S
2
(x)+S
3
(x)=[*]ln(1-x) =[*]ln(1-x), x∈(-1,1),x≠0. 当x=0时,上面的运算不能进行,然而从原级数看S(0)=a
0
=1,同时,也容易看出[*]S(x)=[*]=1.这就说明S(x)在x=0处还是连续的,这一点也正是幂级数的和函数必须具备的性质. (Ⅱ)令S(x)=[*]n(n+1)x
n-1
=xφ(x),而 [*] 于是 S(x)=xφ(x)=[*],x∈(-1,1).
解析
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0
考研数学一
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