设二阶常系数线性微分方程y"+ay’+βy=γex的一个特解为y=e2x+(1+x)ex,试确定常数α，β，γ,并求该方程的通解。

admin2022-10-13 78

问题设二阶常系数线性微分方程y"+ay’+βy=γe^x的一个特解为y=e^2x+(1+x)e^x,试确定常数α，β，γ,并求该方程的通解。

选项

答案解法一由题设特解知原方程的特征根为1和2，所以特征方程为 (r－1)(r－2)=0 即r²－3r+2=0 于是α=－3，β=2 为确定γ，只需将y₁=xe^x代入方程 (x+2)e^x－3(x+1)e^x+2xe^x=γe^x,解得γ=－1 从而原方程的通解为y=C₁e^x+C₂e^2x+xe^x 解法二将y=e^2x+(1+x)e^x代入原方程得 (4+2α+β)e^2x+(3+2α+β)e^x+(1+α+β)xe^x=γe^x 比较同类项的系数，有 [*] 解方程组得α=－3，β=2，γ=－1 即原方程为y”－3y’+2y=－e^x,它对应的齐次方程的特征方程为r²－3r+2=0,解之得特征根r₁=1，r₂=2，故齐次方程的通解为 Y=C₁e^x+C₂e^2x 由题设特解知，原方程的通解为 y=C₁e^x+C₂e^2x+[e^2x+(1+x)e^2x] 即y=C₃e^x+C₄e^2x+xe^x

解析

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考研数学三

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