设A是n阶实反对称矩阵，证明E+A可逆．

admin2017-06-08 42

问题设A是n阶实反对称矩阵，证明E+A可逆．

选项

答案A是一个抽象矩阵，因此用行列式证明是困难的．下面的证明思路是通过(E+A)X=0只有零解来说明结论．设η是一个n维实向量，满足(E+A)η=0，要证明η=0．用η^T左乘上式，得 η^T(E+A)η=0，即η^Tη=－η^TAη 由于A是反对称矩阵，η^TAη是一个数，η^TAη=(η^TAη)^T=－η^TAη，因此η^TAη=0，于是 η^Tη=0 η是实向量，(η，η)=η^Tη=0，从而η=0．

解析

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