设曲线y=y(x)位于第一象限且在原点处的切线与x轴相切，P(x，y)为曲线上任一点，该点与原点之间的弧长为l1，点P处的切线与y轴交于点A，点A，P之间的距离为l2，又满足x(3l1+2)=2(x+1)l2，求曲线y=y(x)．

admin2020-11-16 21

问题设曲线y=y(x)位于第一象限且在原点处的切线与x轴相切，P(x，y)为曲线上任一点，该点与原点之间的弧长为l₁，点P处的切线与y轴交于点A，点A，P之间的距离为l₂，又满足x(3l₁+2)=2(x+1)l₂，求曲线y=y(x)．

选项

答案由已知条件得y(0)=0，y’(0)=0， [*] P(x，y)处的切线为Y=y=y’(X一x)，令X=0，则Y=y—xy’，A的坐标为(0，y—xy’)， [*] 由x(3l₁+2)=2(x+1)l₂得[*] 两边对x求导整理得1+y^’2=2(x+1)y’y"．令y’=p，[*]代入得[*]变量分离得[*] 积分得ln(1+p²)=ln(x+1)+lnC₁，即1+p²=C₁(x+1)，由初始条件得C₁=1，即[*]从而[*] 再由y(0)=0得C₂=0，故所求的曲线为[*]

解析

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设曲线y=y(x)位于第一象限且在原点处的切线与x轴相切，P(x，y)为曲线上任一点，该点与原点之间的弧长为l1，点P处的切线与y轴交于点A，点A，P之间的距离为l2，又满足x(3l1+2)=2(x+1)l2，求曲线y=y(x)．

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