设f(x)有任意阶导数且f’(x)=f3(x)，则f(n)(x)=___________．

admin2019-03-12 39

问题设f(x)有任意阶导数且f’(x)=f³(x)，则f⁽ⁿ⁾(x)=___________．

选项

答案(2n一1)!!f²ⁿ⁺¹(x)

解析用归纳法．由f’(x)=f³(x)=1．f³(x)求导得
f"(x)=1．3f²(x)f’(x)=1．3f⁵(x)，再求导又得
f"’(x)=1．3．5f⁴(x)f’(x)=1．3．5f⁷(x)，由此可猜想
f⁽ⁿ⁾(x)=1．3…(2n一1)f²ⁿ⁺¹(x)=(2n一1)!f²ⁿ⁺¹(x)(n=1，2，3，…)．
设n=k上述公式成立，则有
f^(k+1)(x)=[f^(k)(x)]’=[(2k一1)!!f^2k+1(x)]’
=(2k一1)!!(2k+1)f^2k(x)f’(x)=(2k+1)!!f^2k+3(x)，
由上述讨论可知当n=1，2，3，…时
f⁽ⁿ⁾(x)=(2n一1)!!f²ⁿ⁺¹(x)成立．

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