设a1＜a2＜…＜an，且函数f(x)在[a1，an]上n阶可导，c∈[a1，an]且f(a1)=f(a2)=…=f(an)=0．证明：存在ξ∈(a1，an)，使得

admin2015-07-10 32

问题设a₁＜a₂＜…＜a_n，且函数f(x)在[a₁，a_n]上n阶可导，c∈[a₁，a_n]且f(a₁)=f(a₂)=…=f(a_n)=0．证明：存在ξ∈(a₁，a_n)，使得

选项

答案当c=a_i(i=1，2，…，n)时，对任意的ξ∈(a₁，a_n)，结论成立；设c为异于a₁，a₂，…，a_n的数，不妨设a₁＜c＜a₂＜…＜a_n．令[*]，构造辅助函数φ(x)=f(x)一k(x一a₁)(x一a₂)…(x一a_n)，显然φ(x)在[a₁，a_n]上n阶可导，且φ(a₁)=φ(c)=φ(a₂)=…=φ(a_n)=0，由罗尔定理，存在ξ₁⁽¹⁾∈(a₁，c)，ξ₂⁽¹⁾∈(c，a₂)，…，ξ_n⁽¹⁾∈(a_n-1，a_n)，使得φ’(ξ₁⁽¹⁾)=φ’(ξ₂⁽¹⁾)=…=φ(ξ_n⁽¹⁾)=0，φ’(x)在(a₁，a_n)内至少有n个不同零点，重复使用罗尔定理，则φ^(n-1)(x)在(a₁，a_n)内至少有两个不同零点，设为c₁，c₂∈(a₁，a_n)，使得φ^(n-1)(c₁)=φ^(n-1)(c₂)=0，再由罗尔定理，存在ξ∈(c₁，c₂)[*](a₁，a₂)，使得φ⁽ⁿ⁾(ξ)=0．而φ⁽ⁿ⁾(x)=f⁽ⁿ⁾(x)一n!k，所以f⁽ⁿ⁾(ξ)=n!k，从而有 [*]

解析

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考研数学三

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设a1＜a2＜…＜an，且函数f(x)在[a1，an]上n阶可导，c∈[a1，an]且f(a1)=f(a2)=…=f(an)=0．证明：存在ξ∈(a1，an)，使得

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