2. 考研
  3. 已知A是3阶非零矩阵，若矩阵B＝使得AB＝0，又知A＋3E不可逆，则秩r(A)＋r(A＋E)＝_______．

已知A是3阶非零矩阵，若矩阵B＝使得AB＝0，又知A＋3E不可逆，则秩r(A)＋r(A＋E)＝_______．

admin2021-11-08  11
问题 已知A是3阶非零矩阵，若矩阵B＝使得AB＝0，又知A＋3E不可逆，则秩r(A)＋r(A＋E)＝_______．
选项
答案4
解析 由AB＝0知r(A)＋r(B)≤3，又因r(B)＝2，矩阵A非零，得到r(A)＝1．
    由AB＝0我们还知矩阵B的列向量是Aχ＝0的解，所以由

    知λ＝0是矩阵A的特征值，(1，4，7)T，(2，5，8)T是λ＝0的2个线性无关的特征向量．由A＋3E不可逆，知λ＝－3是矩阵A的特征值．那么矩阵A有3个线性无关的特征向量．
    从而A～∧＝
    进而A＋E～，故r(A＋E)＝3，所以r(A)＋r(A＋E)＝4．
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考研数学一

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