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  3. 设A是n阶矩阵，(E+A)x=0只有零解，则下列矩阵间乘法不能交换的是 ( )

设A是n阶矩阵，(E+A)x=0只有零解，则下列矩阵间乘法不能交换的是 ( )

admin2020-03-01  53
问题 设A是n阶矩阵，(E+A)x=0只有零解，则下列矩阵间乘法不能交换的是    (    )
选项 A、A—E；A+E
B、A—E；(A+E)-1
C、A—E；(A+E)*
D、A—E；(A+E)T
答案D
解析 由于(E+A)x=0只有零解，知r(E+A)=n，所以存在(E+A)-1且|E+A|≠0．
    方法一  因
                   (A+E)(A—E)=A2一E=(A—E)(A+E)，    (*)
    故A+E，A—E可交换，故(A)成立．
    (*)式两端各左边、右边乘(A+E)-1，得
                   (A—E)(A+E)-1=(A+E)-1(A—E)，    (**)
    故(A+E)-1，A—E可交换，故(B)成立．
    (**)式两边乘|A+E|(数)，得
                   (A—E)(A+E)*=(A+E)*(A—E)，
    故(A+E)*，A—E可交换，故(C)成立．
    由排除法知，应选(D)，即(A+E)T，A～E不能交换．
    方法二    (A+E)(A—E)=(A+E)(A+E一2E)=(A+E)2一2(A+E)
                         =(A+E一2E)(A+E)=(A—E)(A+E)．
      (A+E)-1(A—E)=(A+E)-1(A+E一2E)=(A+E)-1(A+E)一2(A+E)-1
               =(A+E)(A+E)-1一2(A+E)-1=(A+E一2E)(A+E)-1
               =(A—E)(A+E)-1．
    同理     (A+E)*(A—E)=(A—E)(A+E)*．
    故应选(D)．
    方法三  (D)不成立，可举出反例，如取则
            
  而
         
    故(A+E)T(A-E)≠(A-E)(A+E)T，即(D)不成立．
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考研数学二

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