已知n(n≥3)阶实矩阵A=(aij)n×n满足条件： (1)aij=Aij(i，j=1，2，…，n)，其中Aij是aij的代数余子式； (2)a11≠0．求|A|．

admin2015-08-14 38

问题已知n(n≥3)阶实矩阵A=(a_ij)_n×n满足条件：
(1)a_ij=A_ij(i，j=1，2，…，n)，其中A_ij是a_ij的代数余子式；
(2)a₁₁≠0．求|A|．

选项

答案由已知a_ij=A_ij，所以A*=A^T，且 AA*=AA^T=|A|E. 两边取行列式得 |AA^T|=|A|²=||A|E|=|A|ⁿ．从而 |A|=1 或 |A|=0．由于a₁₁≠0，可知 |A|=a₁₁A₁₁+a₁₂A₁₂+…+a_1nA_1n=a₁₁²+a₁₂²+…+a_1n²＞0．于是|A|=1．

解析

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