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α1,α2,α3是四元非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量,且R(A)=3,α1=(1,2,3,4)T,α2+α3=(0,1,2,3)T.c表示任意常数,则线性方程组Ax=b的通解x=( ).
α1,α2,α3是四元非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量,且R(A)=3,α1=(1,2,3,4)T,α2+α3=(0,1,2,3)T.c表示任意常数,则线性方程组Ax=b的通解x=( ).
admin
2022-04-08
70
问题
α
1
,α
2
,α
3
是四元非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量,且R(A)=3,α
1
=(1,2,3,4)
T
,α
2
+α
3
=(0,1,2,3)
T
.c表示任意常数,则线性方程组Ax=b的通解x=( ).
选项
A、
B、
C、
D、
答案
C
解析
【思路探索】根据非齐次线性方程组解的结构,依次求出其导出组的基础解系和自身的一个特解即可.
根据线性方程组解的性质,可知2α
1
-(α
2
+α
3
)=(α
1
-α
2
)+(α
1
-α
3
)是非齐次线性方程组
Ax=b导出组Ax=0的一个解.因为R(A)=3,所以Ax=0的基础解系含4-3=1个解向量,而2α
1
-(α
2
+α
3
)=(2,3,4,5)
T
≠0,故是Ax=0的一个基础解系.因此Ax=b的通解为
α
1
+c(2α
1
-α
2
-α
3
)=(1,2,3,4)
T
+c(2,3,4,5)
T
,即(C)选项正确.对于其他几个选项,
(A)选项中(1,1,1,1)
T
=α
1
-(α
2
+α
3
),
选项(B)中(0,1,2,3)
T
=α
2
+α
3
,
选项(D)中(3,4,5,6)
T
=3α
1
-2(α
2
+α
3
),
都不是Ax=b的导出组的解.所以(A)、(B)、(D)项均不正确.
故应选(C).
【错例分析】本题常见错误是未能准确求出Ax=0的基础解系,主要原因是错将α
2
+α
3
当作Ax=b的解,从而导致错误.
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考研数学二
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