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  3. 假设A，B均为n阶方阵，且满足AB=A+B，试证明A，B可交换。

假设A，B均为n阶方阵，且满足AB=A+B，试证明A，B可交换。

admin2019-03-23  61
问题 假设A，B均为n阶方阵，且满足AB=A+B，试证明A，B可交换。
选项
答案等式AB=A+B等价于AB—A—B+E=E，则有(A—E)(B—E)=E。 由此可知，A—E与B—E互为逆矩阵，由逆矩阵的定义可知 (A—E)(B—E)=(B—E)(A—E)=E， 将以上等式展开可得AB—A—B+E=BA—A—B+E，故AB=BA，即A，B可交换。
解析
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考研数学二

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