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设f(χ)在(-∞,+∞)是连续函数, (Ⅰ) 求初值的解y=φ(χ); (Ⅱ) 求证y(χ)=∫0χφ(t)f(χ-t)dt是初值问题的解; (Ⅲ) 求y〞+y′=f(χ)的通解.
设f(χ)在(-∞,+∞)是连续函数, (Ⅰ) 求初值的解y=φ(χ); (Ⅱ) 求证y(χ)=∫0χφ(t)f(χ-t)dt是初值问题的解; (Ⅲ) 求y〞+y′=f(χ)的通解.
admin
2018-06-12
75
问题
设f(χ)在(-∞,+∞)是连续函数,
(Ⅰ) 求初值
的解y=φ(χ);
(Ⅱ) 求证y(χ)=∫
0
χ
φ(t)f(χ-t)dt是初值问题
的解;
(Ⅲ) 求y〞+y′=f(χ)的通解.
选项
答案
(Ⅰ)作为二阶线性常系数齐次方程的初值问题来求解. 特征方程λ
2
+λ=0,特征根λ=0,λ=-1,于是通解为y=C
1
+C
2
e
-χ
.由初值[*]C
1
=1,C
2
=-1.因此, y=φ(χ)=1-e
-χ
. (Ⅱ)将φ(χ)=1-e
-χ
代入y(χ)表达式得 y(χ)=∫
0
χ
(1-e
-t
)f(χ-t)dt. ① 下证y(χ)满足方程与初值,就要计算y′(χ)与y〞(χ).y(χ)是由变限积分定义的函数,由于被积函数含参变量χ,故先作变量替换 y(χ)=[*]∫
0
χ
(1-e
s-χ
)f(s)ds=∫
0
χ
f(s)ds-e
-χ
∫
0
χ
e
s
f(s)ds. 现可用变限积分求导法得 y′(χ)=f(χ)-e
-χ
e
χ
f(χ)+e
-χ
∫
0
χ
e
s
f(s)ds=e
-χ
∫
0
χ
e
s
f(s)ds, ② y〞(χ)=-e
-χ
∫
0
χ
e
s
f(s)ds+f(χ). 两式相加得y〞+t′=f(χ). 在①,②中令χ=0得y(0)=0,y′(0)=0. (Ⅲ)由二阶线性非齐次方程通解的结构,并用题(Ⅰ)与题(Ⅱ)知,y〞+y′=f(χ)的通解是 y=C
1
+C
2
e
-χ
+∫
0
χ
(1-e
-t
)f(χ-t)dt.
解析
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考研数学一
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