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已知向量组(Ⅰ)α1，α2，α3；(Ⅱ)α1，α2，α3，α4； (Ⅲ)α1，α2，α3，α5，如果它们的秩分别为r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4，求r(α1，α2，α3，α4+α5)．
已知向量组(Ⅰ)α1，α2，α3；(Ⅱ)α1，α2，α3，α4； (Ⅲ)α1，α2，α3，α5，如果它们的秩分别为r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4，求r(α1，α2，α3，α4+α5)．
admin
2016-10-20
69
问题
已知向量组(Ⅰ)α
1
，α
2
，α
3
；(Ⅱ)α
1
，α
2
，α
3
，α
4
；
(Ⅲ)α
1
，α
2
，α
3
，α
5
，如果它们的秩分别为r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4，求r(α
1
，α
2
，α
3
，α
4
+α
5
)．
选项
答案
(1)由r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3，知α
1
，α
2
，α
3
线性无关，α
1
，α
2
，α
3
，α
4
线性相关，故α
4
可由α
1
， α
2
，α
3
线性表出．设α
4
=l
1
α
1
+l
2
α
2
+l
3
α
3
． 如果α
4
+α
5
能由α
1
，α
2
，α
3
线性表出，设α
4
+α
5
=k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
，则 α
5
=(k
1
-l
1
)α
1
+(k
2
-l
2
)α
2
+(k
3
-l
3
)α
3
． 于是α
5
可由α
1
，α
2
，α
3
线性表出，即α
1
，α
2
，α
3
，α
5
线性相关，与已知r(Ⅲ)=4相矛盾．所以α
4
+α
5
不能用α
1
，α
2
，α
3
线性表出，由秩的定义知r(α
1
，α
2
，α
3
，α
4
+α
5
)=4． (2)如果x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
+x
4
(α
4
+α
5
)=0，把α
4
=l
1
α
1
+l
2
α
2
+l
3
α
3
(理由同前，略) 代入有 (x
1
+l
1
x
4
)α
1
+(x
2
+l
2
x
4
)α
2
+(x
3
+l
3
x
4
)α
3
+x
4
α
5
=0． 由r(Ⅲ)=4，知α
1
，α
2
，α
3
，α
5
线性无关，从而 [*] (3)同前，设α
4
=l
1
α
1
+l
2
α
2
+l
3
α
3
，构造矩阵(α
1
，α
2
，α
3
，α
5
)作初等列变换． (α
1
，α
2
，α
3
，α
5
)[*](α
1
，α
2
，α
3
，α
5
+l
1
α
1
+l
2
α
2
+l
3
α
3
)， 即(α
1
，α
2
，α
3
，α
5
)[*](α
1
，α
2
，α
3
，α
5
+α
4
)．由于初等变换不改变秩，故 r(α
1
，α
2
，α
3
，α
5
+α
4
)=r(α
1
，α
2
，α
3
，α
5
)=4．
解析
由于r(Ⅰ)=3，得α
1
，α
2
，α
3
线性无关，那么向量组α
1
，α
2
，α
3
，α
4
+α
5
的秩至少是3，能否是4？关键就看α
4
+α
5
能否用α
1
，α
2
，α
3
线性表出，或者看向量组α
1
，α
2
，α
3
，α
4
+α
5
是线性相关还是线性无关．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/peT4777K
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考研数学三
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