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  3. 微分方程y〞＋4y＝cos2χ的通解为y＝_______．

微分方程y〞＋4y＝cos2χ的通解为y＝_______．

admin2020-06-10  59
问题 微分方程y〞＋4y＝cos2χ的通解为y＝_______．
选项
答案[*]sin2χ＋C1cos2χ＋C2sin2χ．
解析 y〞＋4y＝cos2χ对应的齐次方程的特征方程是r2＋4＝0．它的两个特征根为r1，2＝±2i．因此对应的齐次方程的通解为y＝C1cos2χ＋C2sin2χ．λ±ωi＝±2i是特征方程的根，所以，设非齐次方程的特解为
    y*＝χ(Acos2χ＋Bsin2χ)，
    则(y*)′＝χ(－2Asin2χ＋2Bcos2χ)＋Acos2χ＋Bsin2χ，
    (y*)〞＝－χ(4Acos2χ＋4Bsin2χ)－4Asin2χ＋4Bcos2χ．
    将上两式代入方程y〞＋4y＝cos2χ中，得－4Asin2χ＋4Bcos2χ＝cos2χ．
    比较上式系数得A＝0，B＝．
    故原方程的通解为y＝sin2χ＋C1cos2χ＋C2sin2χ．
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考研数学一

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