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  3. 设y1=x，y2=x+e2x，y3=x(1+e2x)是二阶常系数线性非齐次方程的解，求该微分方程的通解及该方程．

设y1=x，y2=x+e2x，y3=x(1+e2x)是二阶常系数线性非齐次方程的解，求该微分方程的通解及该方程．

admin2019-06-04  58
问题 设y1=x，y2=x+e2x，y3=x(1+e2x)是二阶常系数线性非齐次方程的解，求该微分方程的通解及该方程．
选项
答案设所求二阶常系数线性非齐次方程为 y’’+a1y’+a2y=f(x)， (*) y’’+a1y+a2y=f(x) (*) 对应的齐次方程为 y’’+a1y’+a2y=0， (**) y’’+a1y’+a2y=0， (**) 由非齐次方程与齐次方程解的关系，可知y2-y1=e2x，y3-y1=xe2x是方程(**)的解， 又因为[*]=x≠R(常数)． 故方程(**)的通解为y(x)=C1e2x+C2xe2x=(C1+C2x)e2x． 由线性微分方程解的结构，非齐次方程通解为y=(C1+C2x)e2x+x． 由齐次方程(**)通解的形式可知，λ=2为特征方程λ2+a1λ+a2=0的二重根． 由根与系数关系可得a1=-4，a2=4． 于是方程(*)为y’’-4y’+4y=f(x)． 因为y1=x为其解，将其代入得x’’-4x’+4x=f(x)，则f(x)=4(x-1)． 故所求方程为y’’-4y’+4y=4(x-1)．
解析 由二阶线性非齐次微分方程与其对应的齐次微分方程的解之间的关系，先求出微分方程的通解，再由通解形式求出微分方程．
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