2. 考研
  3. 设奇函数f(x)在[-1，1]上具有二阶导数，且f(1)=1，证明： (Ⅰ)存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=1； (Ⅱ)存在η∈(-1，1)，使得f’’(η)+f’(η)=1。

设奇函数f(x)在[-1，1]上具有二阶导数，且f(1)=1，证明： (Ⅰ)存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=1； (Ⅱ)存在η∈(-1，1)，使得f’’(η)+f’(η)=1。

admin2017-01-14  76
问题 设奇函数f(x)在[-1，1]上具有二阶导数，且f(1)=1，证明：
(Ⅰ)存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=1；
(Ⅱ)存在η∈(-1，1)，使得f’’(η)+f’(η)=1。
选项
答案(Ⅰ)令F(x)=f(x)-x，则 F(0)=f(0)=0，F(1)=f(1)-1=0， 由罗尔定理知，存在ξ∈(0，1)使得F’(ξ)=0，即f’(ξ)=1。 (Ⅱ)令G(x)=ex[f’(x)-1]，由(Ⅰ)知，存在ξ∈(0，1)，使C(ξ)=0，又因为f(x)为奇函数，故f’(x)为偶函数，知G(-ξ)=0，则存在η∈(-ξ，ξ)[*](-1，1)，使得 G’(η)=eη(f’(η)-1)+eηf’’(η)=0， f’’(η)+f’(η)=1。
解析
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考研数学一

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