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设二次型f(x1,x2,x3)=x12-x22+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数为1,则a的取值范围是_______.
设二次型f(x1,x2,x3)=x12-x22+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数为1,则a的取值范围是_______.
admin
2018-07-26
82
问题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
1
2
-x
2
2
+2ax
1
x
3
+4x
2
x
3
的负惯性指数为1,则a的取值范围是_______.
选项
答案
[-2,2].
解析
1 对f配方,可得
f=(x
1
+ax
3
)
2
-(x
2
-2x
3
)
2
+(4-a
2
)x
3
3
于是f可经可逆线性变换
化成标准形
f=z
1
2
-z
2
2
+(4-a
2
)z
3
2
若4-a
2
<0,则f的负惯性指数为2,不合题意;
若4-a
2
≥0,则f的负惯性指数为1.
因此,当且仅当4-a
2
≥0,即|a|≤2时,f的负惯性指数为1.
2 f的矩阵为
A的特征多项式为
=λ
3
-(5+a
2
)λ+4-a
2
,
设A的特征值为λ
1
,λ
2
,λ
3
,则f经正交变换可化成标准形
f=λ
1
y
1
2
+λ
2
y
2
2
+λ
3
y
3
2
λ
1
,λ
2
,λ
3
中为负的个数即f的负惯性指数,且由特征值的性质知
λ
1
λ
2
λ
3
=det(A)=4-a
2
.
由于f既可取到正值、又可取到负值,所以λ
1
,λ
2
,λ
3
中至少有一个为正的,也至少有一个为负的.
λ
1
λ
2
λ
3
的符号只有下列3种可能:
(1)λ
1
λ
2
λ
3
=0,此时有λ
3
=0,
1,2
λ=±
,即f的正、负惯性指数都为1,符号题意.
(2)λ
1
λ
2
λ
3
<0,此时λ
1
,λ
2
,λ
3
中有“一个为负的,2个为正的(不可能3个都为负,否则与f可取到正值矛盾),符号题意.
(3)λ
1
λ
2
λ
3
>0,此时λ
1
,λ
2
,λ
3
中3个都为正的,或者2个为负的,1个为正的,都不符号题意.
综上可知,当且仅当λ
1
λ
2
λ
3
=4-a
2
≤0,即|a|=2时,符号题意.
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考研数学三
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