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已知A=-E+αβT,其中α=,β=,且αTβ=3,证明A可逆并求A-1.
已知A=-E+αβT,其中α=,β=,且αTβ=3,证明A可逆并求A-1.
admin
2018-06-12
28
问题
已知A=-E+αβ
T
,其中α=
,β=
,且α
T
β=3,证明A可逆并求A
-1
.
选项
答案
记B=αβ
T
,则A=-E+B.而 [*] 由于r(B)=1,α
T
β=a
1
b
1
+a
2
b
2
+a
3
b
3
=3,故 |λAE-B|=λ
3
-(a
1
b
1
+a
2
b
2
+a
3
b
3
)λ
2
=λ
3
-3λ
2
. 所以矩阵B的特征值是3,0,0. 那么,矩阵A的特征值是2,-1,-1,故A可逆. 因为α
T
β=β
T
α=3,有B
2
=(αβ
T
)(αβ
T
)=α(β
T
α)β
T
=3B. 于是(A+E)
2
=3(A+E),即A
2
-A=2E,亦即A.[*](A-E)=E.所以 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/qUg4777K
0
考研数学一
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