已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1：ax+2by+3c=0， l2：bx+2cy+3a=0， l3：cx+2ay+3b=0。试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0。

admin2018-04-08 40

问题已知平面上三条不同直线的方程分别为
l₁：ax+2by+3c=0，
l₂：bx+2cy+3a=0，
l₃：cx+2ay+3b=0。
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0。

选项

答案必要性。设三条直线l₁，l₂，l₃交于一点，那么线性方程组 [*] 有唯一解，故系数矩阵 [*] 的秩均为2，于是有[*] 由于 [*] =6(a+b+c)(a+b²+c²－ab－ac－bc) =3(a+b+c)[(a－b)²+(b－c)²+(c－a)²]，但根据题设(a一b)²+(b－c)²+(c－a)²≠0，故a+b+c=0。充分性。由a+b+c=0，且从必要性的证明可知，[*]由于 [*] 故r(A)=2。所以r(A)=[*]=2。因此方程组(*)有唯一解，即三直线l₁，l₂，l₃交于一点。

解析

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考研数学一

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已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1：ax+2by+3c=0， l2：bx+2cy+3a=0， l3：cx+2ay+3b=0。试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0。

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