设α1，α2，…，αn－1是Rn中线性无关的向量组，β1，β2与α1，α2，…，αn－1正交，则( )

admin2019-06-06 56

问题设α₁，α₂，…，α_n－1是Rⁿ中线性无关的向量组，β₁，β₂与α₁，α₂，…，α_n－1正交，则( )

选项 A、α₁，α₂，…，α_n－1，β₁必线性相关。
B、α₁，α₂，…，α_n－1，β₁，β₂必线性无关。
C、β₁，β₂必线性相关。
D、β₁，β₂必线性无关。

答案C

解析由n+1个n维向量必线性相关可知(B)选项错。
若α_i(i=1，2，…，n一1)是第i个分量为1，其余分量全为0的向量，β₁是第n个分量为1，其余分量全为0的向量，β₂是第n个分量为2，其余分量全为0的向量，则α₁，α₂，…，α_n－1，β₁线性无关，β₂=2β₁，所以选项(A)和(D)错误。
下证(C)选项正确：
因α₁，α₂，…，α_n－1，β₁，β₂必线性相关，所以存在n+1个不全为零的常数k₁，k₂，…，k_n－1，l₁，l₂，使
k₁α₁+k₂α₂+…+k_n－1α_n－1+l₁β₁+l₂β₂=0，
又因为α₁，α₂，…，α_n－1线性无关，所以l₁，l₂一定不全为零，否则α₁，α₂，…，α_n－1线性相关，产生矛盾。
在上式两端分别与β₁，β₂作内积，有
(l₁β₁+l₂β₂，β₁)=0， (1)
(l₁β₁+l₂β₂，β₂)=0， (2)
联立两式，l₁×(1)+l₂×(2)可得
(l₁β₁+l₂β₂，l₁β₁+l₂β₂)=0，
从而可得l₁β₁+l₂β₂=0，
故β₁，β₂必线性相关。故选(C)。

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