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设f(x)在[a,b]上连续可导,证明: |f(x)|≤|1/(b-a)∫abf(x)dx|+∫ab|f′(x)|dx.
设f(x)在[a,b]上连续可导,证明: |f(x)|≤|1/(b-a)∫abf(x)dx|+∫ab|f′(x)|dx.
admin
2022-08-19
17
问题
设f(x)在[a,b]上连续可导,证明:
|f(x)|≤|1/(b-a)∫
a
b
f(x)dx|+∫
a
b
|f′(x)|dx.
选项
答案
因为f(x)在[a,b]上连续,所以|f(x)|在[a,b]上连续,令 |f(c)|=[*]. 根据积分中值定理得1/(b-a)∫
a
b
f(x)dx=f(ξ),其中ξ∈[a,b]. 由积分基本定理得f(c)=f(ξ)+∫
ξ
c
f′(x)dx,取绝对值得 |f(c)|≤|f(ξ)|+|∫
ξ
c
f′(x)dx|≤|f(ξ)|+∫
a
b
|f′(x)|dx,即 [*]≤[1/(b-a)]∫
a
b
f(x)dx|+∫
a
b
|f′(x)|dx.
解析
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考研数学三
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