2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续可导，证明： |f(x)|≤|1/(b-a)∫abf(x)dx|+∫ab|f′(x)|dx.

设f(x)在[a，b]上连续可导，证明： |f(x)|≤|1/(b-a)∫abf(x)dx|+∫ab|f′(x)|dx.

admin2022-08-19  33
问题 设f(x)在[a，b]上连续可导，证明：
|f(x)|≤|1/(b-a)∫abf(x)dx|+∫ab|f′(x)|dx.
选项
答案因为f(x)在[a，b]上连续，所以|f(x)|在[a，b]上连续，令 |f(c)|=[*]. 根据积分中值定理得1/(b-a)∫abf(x)dx=f(ξ)，其中ξ∈[a，b]. 由积分基本定理得f(c)=f(ξ)+∫ξcf′(x)dx，取绝对值得 |f(c)|≤|f(ξ)|+|∫ξcf′(x)dx|≤|f(ξ)|+∫ab|f′(x)|dx，即 [*]≤[1/(b-a)]∫abf(x)dx|+∫ab|f′(x)|dx.
解析
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考研数学三

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