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已知线性方程组 的一个基础解系为(b11,b12,…,b1,2n)T,试写出线性方程组 的通解,并说明理由.
已知线性方程组 的一个基础解系为(b11,b12,…,b1,2n)T,试写出线性方程组 的通解,并说明理由.
admin
2019-12-26
67
问题
已知线性方程组
的一个基础解系为(b
11
,b
12
,…,b
1,2n
)
T
,试写出线性方程组
的通解,并说明理由.
选项
答案
设方程组(I)与(Ⅱ)的系数矩阵分别为A和B,则由(I)的基础解系可知AB
T
=O,于是BA
T
=(AB
T
)
T
=O,所以A的n个行向量的转置也是方程组(Ⅱ)的n个解向量. 由于(b
11
,b
12
,…,b
1,2n
)
T
,(b
21
,b
22
,…,b
2,2n
)
T
,…,(b
n1
,b
n2
,…,b
n,2n
)
T
为方程组(I)的基础解系,所以该向量 组线性无关,故r(B)=n,从而方程组(Ⅱ)的基础解系解向量的个数为2n-n=n. 又由于方程组(I)的未知数的个数为2n,基础解系解向量的个数为n,所以方程组(I)的系数矩阵的秩r(A)=n,于是A的n个行向量的转置是线性无关的,从而构成方程组(Ⅱ)的一个基础解系,于是方程组(Ⅱ)的通解为 y=k
1
(a
11
,a
12
,…,a
1,2n
)
T
+k
2
(a
21
,a
22
,…,a
2,2n
)
T
+…+k
n
(a
n1
,a
n2
,…,a
n,2n
)
T
, 其中k
1
,k
2
,…,k
n
为任意常数.
解析
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考研数学三
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