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设x1=1,x2=1/2,xn+1=(n=1,2,…).试求极限xn.
设x1=1,x2=1/2,xn+1=(n=1,2,…).试求极限xn.
admin
2022-10-31
51
问题
设x
1
=1,x
2
=1/2,x
n+1
=
(n=1,2,…).试求极限
x
n
.
选项
答案
因为x
n+1
-x
n
=[*],由x
2
-x
1
<0,可得x
3
-x
2
>0,以此类推 x
4
-x
3
>0,…,x
2k
-x
2k-1
<0,x
2k+1
-x
2k
>0,…, 显然{x
n
}本身不是单调数列. 设正数a满足[*]=a(a=0.618…),若x
n
<a,则x
n+1
=[*]=a;若x
n
>a,则x
n+1
=[*]=a;而x
1
=1>0.618….于是可得x
2k-1
>a,x
2k
<a. 由于 x
n+2
-x
n
[*] 因此当x
n
<a时,有x
n+2
-x
n
>0,当x
n
>a时,有x
n+2
-x
n
<0.但因x
2k
<a,x
2k-1
>a,所以{x
2k
}是递增有上界数列(a为上界),{x
2k-1
}是递减有下界数列(a为下界).由单调有界定理,存在如下极限 [*] 对递推关系x
n+1
=[*]分别当n=2k-1,n=2k取极限,可得[*].由此易知 α=β=a=0.618…, 所以[*]x
n
=a.
解析
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考研数学三
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