2. 考研
  3. 设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且f(0)=f()，2f(x)dx=f(2)．证明存在ξ∈(0，2)，使f″(ξ)=0．

设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且f(0)=f()，2f(x)dx=f(2)．证明存在ξ∈(0，2)，使f″(ξ)=0．

admin2016-11-03  39
问题 设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且f(0)=f()，2f(x)dx=f(2)．证明存在ξ∈(0，2)，使f″(ξ)=0．
选项
答案由积分中值定理2[*]f(x)dx=2.(1一[*]≤η≤1．于是f(x)在[η，2]上满足罗尔定理，即存在ξ1∈(η，2)，使 f′(ξ1)=0． ① 又f(x)在[0，[*]]满足罗尔定理，于是存在ξ2∈(0，[*])，使 f′(ξ2)=0． ② 由式①、式②得到f′(ξ1)=f′(ξ2)．再对f′(x)在[ξ2，ξ1]上使用罗尔定理，得到ξ∈(ξ2，ξ1)[*](0，2)，使f″(ξ)=0． 注意 题设条件或待证结论中含有定积分等式时，要想到使用积分中值定理，有多个函数值相等时，要想到使用罗尔定理．
解析
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考研数学一

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