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  3. 多项式x3+bx2+cx+d不能分解为两个整系数多项式的乘积 (1)b，c，d均为整数(2)bd+cd为奇数

多项式x3+bx2+cx+d不能分解为两个整系数多项式的乘积 (1)b，c，d均为整数(2)bd+cd为奇数

admin2015-07-22  36
问题 多项式x3+bx2+cx+d不能分解为两个整系数多项式的乘积
(1)b，c，d均为整数(2)bd+cd为奇数
选项 A、条件(1)充分，但条件(2)不充分
B、条件(2)充分，但条件(1)不充分
C、条件(1)和条件(2)单独都不充分，但条件(1)和条件(2)联合起来充分
D、条件(1)充分，条件(2)也充分
E、条件(1)和条件(2)单独都不充分，条件(1)和(2)联合起来也不充分
答案C
解析 条件(1)和(2)单独显然都不充分，下面将(1)和(2)联合起来考虑．假设x3+bx2+cx+d能分解为两个整系数多项式的乘积，设x3+bx2+cx+d=(x+p)(x2+ax+r)(其中p，1，r均为整数)所以x3+bx2+cx+d=x3+(p+q)x2+(pq+r)x+pr所以pr=d因为bd+cd=d(b+c)为奇数，所以d与b+c都是奇数，所以p与r必为奇数．令x=1，式(*)化为1+b+c+d=(1+p)(1+p+r)由于d与b+c都是奇数，此式左边为奇数．由于p为奇数，可得1+p为偶数，此式右边为偶数．由以上分析结果，这个等式不可能成立．所以条件(1)和(2)联合起来充分．故此题应选C．
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