若二次型f(x1，x2，x3)=+2ax1x2+2x1x3+2bx2x3经正交变换x=Qy化为标准形，则a2+b2=_______．

admin2016-01-23 64

问题若二次型f(x₁，x₂，x₃)=

+2ax₁x₂+2x₁x₃+2bx₂x₃经正交变换x=Qy化为标准形

，则a²+b²=_______．

选项

答案2

解析本题考查用正交变换化二次型为标准形问题——见到二次型x^TAx经正交变换x=Qy化为标准形y^TAy，就知它们所对应的矩阵相似，即A～A，从而矩阵A与A有“四等五相似”．
解：二次型f(x₁，x₂，x₃)的矩阵为A=

由题设条件可知，A～

，从而可知矩阵A的特征值为
λ₁=0， λ₂=1， λ₃=4，
进而可得｜A｜=0，｜E-A｜=0，即

经计算上述行列式可得a=b=±1，因此a²+b²=2．

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