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设f(x)=xTAx为－n元二次型，且有Rn中的向量x1和x2，使得f(x1)＞0，f(x2)＜0．证明：存在Rn中的向量x0≠0，使f(x0)=0．
设f(x)=xTAx为－n元二次型，且有Rn中的向量x1和x2，使得f(x1)＞0，f(x2)＜0．证明：存在Rn中的向量x0≠0，使f(x0)=0．
admin
2019-07-19
46
问题
设f(x)=x
T
Ax为－n元二次型，且有R
n
中的向量x
1
和x
2
，使得f(x
1
)＞0，f(x
2
)＜0．证明：存在R
n
中的向量x
0
≠0，使f(x
0
)=0．
选项
答案
令向量x
0
=－tx
1
+x
2
，其中t为待定实数，选择t，使f(x
1
)=0，即 x
0
T
Ax
0
=(tx
1
+x
2
)
T
A(tx
1
+x
2
) =(t
1
T
+x
2
T
)A(tx
1
+x
2
) =t
2
x
1
T
Ax
1
+2tx
1
T
Ax
2
+x
2
T
2Ax
2
=0， 记实数a=x
1
T
Ax
1
，b=x
1
T
Ax
2
，c=x
2
T
Ax
2
，则由题设条件知a＞0，c＜0．于是上式可写为at
2
+2bt+c=0． 由于关于t的这个二次方程有a＞0，判别式△=4b
2
－4ac＞0，故该方程必有实根t
0
≠0，于是有向量x
0
=tx
1
+ x
2
≠0(否则t
0
x
1
+x
2
=0，则x
2
=－t
0
x
1
，于是f(x
2
)=x
2
1
Ax
2
= (－t
0
x
1
)
T
A(－t
0
x
1
)=t
0
2
x
1
T
Ax
1
＞0，它与已知的f(x
2
)＜0相矛盾)，使得 f(x
0
)=x
0
T
Ax
0
=at
0
2
+abt
0
+c=0．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/sAc4777K
0
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