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  3. 设n阶矩阵A，B等价，则下列说法中，不一定成立的是 ( )

设n阶矩阵A，B等价，则下列说法中，不一定成立的是 ( )

admin2018-11-22  31
问题 设n阶矩阵A，B等价，则下列说法中，不一定成立的是    (    )
选项 A、如果｜A｜＞0，则｜E｜＞0
B、如果A可逆，则存在可逆矩阵P，使得PB=E
C、如果AE，则｜E｜≠0
D、存在可逆矩阵P与Q，使得PAQ=B
答案A
解析 两矩阵等价的充要条件是矩阵同型且秩相同．
    当A可逆时，有r(A)=n，因此有r(B)=n，也即B是可逆的，故B－1B=E，可见B中命题成立．AE的充要条件也是r(A)=n，此时也有r(B)=n，故｜B｜≠0，可见C中命题也是成立的．矩阵A，B等价的充要条件是存在可逆矩阵P与Q，使得PAQ=B，可知D中命题也是成立的．
    故唯一可能不成立的是A中的命题．事实上，当｜A｜＞0时，我们也只能得到r(B)=n，也即｜B｜≠0，不一定有｜B｜＞0．故选A．
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考研数学一

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