设φ(x)在[a，b]上连续，且φ(x)＞0，则函数y=Ф(x)=∫ab｜x一t｜φ(t)dt ( )

admin2016-06-25 45

问题设φ(x)在[a，b]上连续，且φ(x)＞0，则函数y=Ф(x)=∫_a^b｜x一t｜φ(t)dt ( )

选项 A、在(a，b)内的图形为凸
B、在(a，b)内的图形为凹
C、在(b，b)内有拐点
D、在(a，b)内有间断点

答案B

解析先将Ф(x)利用｜x—t｜的分段性分解变形，有
Ф(x)=∫_a^x(x一t)φ(t)dt+∫_x^b(t一x)φ(t)dt=x∫_a^xφ(t)dt—∫_a^xtφ(t)dt+∫_x^btφ(t)dt—x∫_x^bφ(t)dt．
因为φ(t)在[a，b]上连续，所以Ф(x)可导，因而答案不可能是(D)．其余三个选项，只需求出Ф"(x)，讨论Ф"(x)在(a，b)内的符号即可．因
Ф(x)=∫_a^xφ(t)dt一∫_x^bφ(t)dt，
Ф(x)=2φ(x)＞0，x∈[a，b]，
故y=Ф(x)在(a，b)内的图形为凹．应选(B)．

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