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已知平面上三条直线的方程为 l1=aχ+2by+3c=0, l2=bχ+2cy+3a=0, l3=cχ+2ay+3b=0. 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.
已知平面上三条直线的方程为 l1=aχ+2by+3c=0, l2=bχ+2cy+3a=0, l3=cχ+2ay+3b=0. 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.
admin
2016-10-21
50
问题
已知平面上三条直线的方程为
l
1
=aχ+2by+3c=0,
l
2
=bχ+2cy+3a=0,
l
3
=cχ+2ay+3b=0.
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.
选项
答案
l
1
,l
2
,l
3
交于一点即方程组[*]有唯一解,即系数矩阵的秩=增广矩阵的秩=2. 记[*] 则方程组系数矩阵的秩=r(A),增广矩阵的秩=r(B),于是l
1
,l
2
,l
3
交于一点,则r(A)=r(B)=2. 必要性 由于r(B)=2,则|B|=0.计算出 |B|=-(a+b+c)(a
2
+b
2
+c
2
-ab-ac-bc) =-[*](a+b+c)[(a-b)
2
+(b-c)
2
+(c-a)
2
]. a,b,c不会都相等(否则r(A)=1),即(a-b)
2
+(b-c)
2
+(c-a)
2
≠0.得a+b+c=0. 充分性 当a+b+c=0时,|B|=0,于是r(A)≤r(B)≤2.只用再证r(A)=2,就可得到 r(A)=r(B)=2. 用反证法.若r(A)<2,则A的两个列向量线性相关.不妨设第2列是第1列的λ倍,则b=λa,c=λb,a=λc.于是λ
3
a=a,λ
3
b=b,λ
3
c=c,由于a,b,c不能都为0,得λ
3
=1,即λ=1,于是a=b=c.再由a+b+c=0,得a=b=c=0,这与直线方程中未知数的系数不全为0矛盾.
解析
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考研数学二
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