2. 考研
  3. 设Q(x，y)在Oxy平面有一阶连续偏导数，积分∫L2xydx+Q(x，y)dy与路径无关．t 恒有 ∫(0，0)(t，1)2xydx+Q(x，y)dy=∫(0，0)(1，t)2xydx+Q(x，y)dy， (*) 求Q(x，y)．

设Q(x，y)在Oxy平面有一阶连续偏导数，积分∫L2xydx+Q(x，y)dy与路径无关．t 恒有 ∫(0，0)(t，1)2xydx+Q(x，y)dy=∫(0，0)(1，t)2xydx+Q(x，y)dy， (*) 求Q(x，y)．

admin2018-11-21  41
问题 设Q(x，y)在Oxy平面有一阶连续偏导数，积分∫L2xydx+Q(x，y)dy与路径无关．t
恒有    ∫(0，0)(t，1)2xydx+Q(x，y)dy=∫(0，0)(1，t)2xydx+Q(x，y)dy，    (*)
求Q(x，y)．
选项
答案首先由单连通区域上曲线与路径无关的充要条件得[*](2xy)=2x．对x积分得Q(x，y)=x2+φ(y)，下面由(*)定出φ(y)，为此就要求(*)中的曲线积分，得到φ(y)满足的关系式．再求φ(y)． 通过求原函数计算积分： 2xydx+[x2+φ(y)]dy=d[x2y+∫0yφ(s)ds]． 由(*)式，得[x2y+∫0yφ(s)ds]｜(0，0)(t，1)=[x2y+∫0yφ(s)ds]｜∫(0，0)(1，t)， 即 t2+∫01φ(s)ds=t+∫0tφ(s)ds ([*]t)． 求导得 2t=1+φ(t) ([*] t)，即 φ(t)=2t一1，易验证它满足上式． 因此 Q(x，y)=x2+φ(y)=x2+2y一1．
解析
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考研数学一

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