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设Q(x,y)在Oxy平面有一阶连续偏导数,积分∫L2xydx+Q(x,y)dy与路径无关.t 恒有 ∫(0,0)(t,1)2xydx+Q(x,y)dy=∫(0,0)(1,t)2xydx+Q(x,y)dy, (*) 求Q(x,y).
设Q(x,y)在Oxy平面有一阶连续偏导数,积分∫L2xydx+Q(x,y)dy与路径无关.t 恒有 ∫(0,0)(t,1)2xydx+Q(x,y)dy=∫(0,0)(1,t)2xydx+Q(x,y)dy, (*) 求Q(x,y).
admin
2018-11-21
45
问题
设Q(x,y)在Oxy平面有一阶连续偏导数,积分∫
L
2xydx+Q(x,y)dy与路径无关.
t
恒有 ∫
(0,0)
(t,1)
2xydx+Q(x,y)dy=∫
(0,0)
(1,t)
2xydx+Q(x,y)dy, (*)
求Q(x,y).
选项
答案
首先由单连通区域上曲线与路径无关的充要条件得[*](2xy)=2x.对x积分得Q(x,y)=x
2
+φ(y),下面由(*)定出φ(y),为此就要求(*)中的曲线积分,得到φ(y)满足的关系式.再求φ(y). 通过求原函数计算积分: 2xydx+[x
2
+φ(y)]dy=d[x
2
y+∫
0
y
φ(s)ds]. 由(*)式,得[x
2
y+∫
0
y
φ(s)ds]|
(0,0)
(t,1)
=[x
2
y+∫
0
y
φ(s)ds]|∫
(0,0)
(1,t)
, 即 t
2
+∫
0
1
φ(s)ds=t+∫
0
t
φ(s)ds ([*]t). 求导得 2t=1+φ(t) ([*] t),即 φ(t)=2t一1,易验证它满足上式. 因此 Q(x,y)=x
2
+φ(y)=x
2
+2y一1.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/sdg4777K
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考研数学一
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