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  3. n阶矩阵A和B具有相同特征向量是A与B相似的( )条件．

n阶矩阵A和B具有相同特征向量是A与B相似的( )条件．

admin2020-06-05  58
问题 n阶矩阵A和B具有相同特征向量是A与B相似的(    )条件．
选项 A、充分必要
B、必要非充分
C、充分非必要
D、既非充分，也非必要
答案D
解析 若A与B相似，则存在可逆矩阵P，使得P﹣1AP＝B．若α为A的属于特征值λ的特征向量，则有
B(P﹣1α)＝P﹣1AP(P﹣1α)＝P﹣1Aα＝P﹣1(λα)＝λ(P﹣1α)
即P﹣1α是B的属于特征值λ的特征向量．这表明一般而言P﹣1α≠α，即矩阵A与B相似不能保证A和B具有相同的特征向量．若取A＝，B＝，则它们相似，但是不具有相同的特征向量．
另一方面，若A与B具有相同特征向量α，但它们可以属于不同的特征值，即Aα＝λα，Bα＝μα，λ≠μ．而A与B特征值不同，所以A与B不能相似．如取A＝，B＝，它们具有相同的特征向量，但不相似．
因此，A和B具有相同特征向量是A与B相似的既非充分，也非必要条件．
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考研数学一

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