n阶矩阵A和B具有相同特征向量是A与B相似的( )条件．

admin2020-06-05 55

问题 n阶矩阵A和B具有相同特征向量是A与B相似的( )条件．

选项 A、充分必要
B、必要非充分
C、充分非必要
D、既非充分，也非必要

答案D

解析若A与B相似，则存在可逆矩阵P，使得P^﹣1AP＝B．若α为A的属于特征值λ的特征向量，则有
B(P^﹣1α)＝P^﹣1AP(P^﹣1α)＝P^﹣1Aα＝P^﹣1(λα)＝λ(P^﹣1α)
即P^﹣1α是B的属于特征值λ的特征向量．这表明一般而言P^﹣1α≠α，即矩阵A与B相似不能保证A和B具有相同的特征向量．若取A＝

，B＝

，则它们相似，但是不具有相同的特征向量．
另一方面，若A与B具有相同特征向量α，但它们可以属于不同的特征值，即Aα＝λα，Bα＝μα，λ≠μ．而A与B特征值不同，所以A与B不能相似．如取A＝

，B＝

，它们具有相同的特征向量，但不相似．
因此，A和B具有相同特征向量是A与B相似的既非充分，也非必要条件．

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考研数学一

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