设A为n阶正定矩阵.证明:对任意的可逆矩阵P,PTAP为正定矩阵.

admin2022-04-07  29

问题 设A为n阶正定矩阵.证明:对任意的可逆矩阵P,PTAP为正定矩阵.

选项

答案首先AT=A,因为(PTAP)T=PTAT(PT)T=PTAP,所以PTAP为对称矩阵,对任意的X≠0,XT(PTAP)X=(PX)TA(Px),令PX=α,因为P可逆且X≠0,所以α≠0,又因为A为正定矩阵,所以αTAα>0,即XT(PTAP)X>0,故XT(PTAP)X为正定二次型,于是PTAP为正定矩阵.

解析
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