假设： ①函数y=f(x)(0≤x≤+∞)满足条件f(0)=0和0≤f(x)≤ex一1； ②平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=ex一1分别相交于点P1和P2； ③曲线y=f(x)，直线MN与x轴所围成的封闭图形的面积S恒等于线段P1P2的长度。

admin2019-02-23 91

问题假设：
①函数y=f(x)(0≤x≤+∞)满足条件f(0)=0和0≤f(x)≤e^x一1；
②平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=e^x一1分别相交于点P₁和P₂；
③曲线y=f(x)，直线MN与x轴所围成的封闭图形的面积S恒等于线段P₁P₂的长度。
求函数y=f(x)的表达式。

选项

答案由题设可得 ∫₀^xf(x)dx=e^x一1一f(x)，两端求导，得 f(x)=e^x一f’(x)，即 f’(x)+f(x)=e^x。由一阶线性方程求解公式，得 f(x)=e^—x(∫e^x·e^xdx+C)=Ce^—x+[*]e^x。由f(0)=0得C=[*]，因此所求函数为 f(x)=[*](e^x一e^—x)。

解析

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考研数学二

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假设： ①函数y=f(x)(0≤x≤+∞)满足条件f(0)=0和0≤f(x)≤ex一1； ②平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=ex一1分别相交于点P1和P2； ③曲线y=f(x)，直线MN与x轴所围成的封闭图形的面积S恒等于线段P1P2的长度。

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