(1998年)设X1,X2,X3,Xn是来自正态总体N(0,22)的简单随机样本,X=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2。则当a=______,b=_______时,统计量X服从χ2分布,其自由度为_______。

admin2021-01-25  47

问题 (1998年)设X1,X2,X3,Xn是来自正态总体N(0,22)的简单随机样本,X=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2。则当a=______,b=_______时,统计量X服从χ2分布,其自由度为_______。

选项

答案[*]

解析 由于X1,X2,X3,X4相互独立,均服从N(0,22),所以由数学期望和方差的性质,得
    E(X1-2X2)=0,D(X1-2X2)=1×22+22×22=20,
所以(X1-2X2)~N(0,20),同理(3X3-4X4)~N(0,100)。
    又因为(X1-2X2)与(3X3-4X4)相互独立,且
(X1-2X2)~N(0,1);(3X3-4X4)~N(0,1),
由χ2分布的定义,当a=时,
X=(X1-2X2)2+(3X3-4X4)2~χ2(2)。
即当a=时,X服从χ2分布,其自由度为2。
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