曲面x2+y2+z2=2z之内以及曲面z=x2+y2之外所围成的立体的体积V等于( )。

admin2020-07-01 12

问题曲面x²+y²+z²=2z之内以及曲面z=x²+y²之外所围成的立体的体积V等于( )。

选项 A、∫₀^2πdθ∫₀¹rdr

B、∫₀^2πdθ∫₀^trdr

C、∫₀^2πdθ∫₀^rrdr∫_r^1-rdz
D、∫₀^2πdθ∫₀¹rdr

答案D

解析记曲面x²+y²+z²=2z之内以及曲面z=x²+y²之外所围成的立体为Ω，Ω的图形如题12解图所示，

Ω的体积V=

dV。因Ω在xOy面的投影是圆域x²+y²≤1，所以有：0≤θ≤2π。z是从球面x²+y²+z²=2z的下半部到抛物面z=x²+y²，化为柱坐标有：

≤z≤r²，故原积分化为柱坐标下的三重积分有：
V=

=∫₀^2πdθ∫₀¹rdr

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