(2010年试题，23)设1707正交矩阵Q使QTTAQ为对角阵，若Q的第一列为．求a,Q.

admin2013-12-18 70

问题 (2010年试题，23)设

1707正交矩阵Q使Q^TTAQ为对角阵，若Q的第一列为

．求a,Q.

选项

答案因为正交矩阵Q可使得矩阵A．对角化，所以正交矩阵Q的每一列均为矩阵A的特征向量．又正交矩阵Q的第一列为[*]故其为矩阵A的一个特征向量，设对应的特征值为λ₁，则有[*]由此解得a=一1，λ₁=2，则A=[*]令[*]则可得(λ+4)(λ一2)(λ一5)=0，即矩阵A的3个特征值为λ₁=2，λ₂=5，λ₃=一4，对应于特征值λ₁=2的特征向量为[*]由(λ₂E—A)x=0，即[*]对系数矩阵作行变换得[*]，则对应于A2=5的特征向量为ξ₂=(1，一1，1)^T．同理，由(λ₃E—A)x=0，即[*]，对系数矩阵作行变换：[*]的特征向量为ξ₃=(一1，0，1)^T因为矩阵A为实对称矩阵，且ξ₁，ξ₂，ξ₃，是对应于不同特征值的特征向量，所以ξ₁，ξ₂，ξ₃相互正交，ξ₁已是单位向量，只需对ξ₂，ξ₃单位化即可．[*]取Q=(ξ₁，η₂，η₃)[*]

解析

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考研数学二

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(2010年试题，23)设1707正交矩阵Q使QTTAQ为对角阵，若Q的第一列为．求a,Q.

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(06年)在χOy坐标平面上，连续曲线L过点M(1，0)，其上任意点P(χ，y)(χ≠0)处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于aχ(常数a＞0)．(Ⅰ)求L的方程；(Ⅱ)当L与直线y＝aχ所围成平面图形的面积为时，确定a的值．

(08年)如图，曲线段的方程为y＝f(χ)，函数f(χ)在区间[0，a]上有连续的导数，则定积分∫0aχf′(χ)dχ等于【】

设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=－2。且α1=(1，－1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5－4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．(Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；(Ⅱ)求矩阵B．

(2001年)求二重积分的值，其中D是由直线y=x，y=一1及x=1围成的平面区域．

(00年)设函数f(χ)在[0，π]上连续，且∫0πf(χ)dχ＝0，∫0πf(χ)cosχdχ＝0．试证明：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)＝f(ξ2)＝0．

已知向量组(Ⅰ)：α1，α2，α3；(Ⅱ)α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3，α5．如果各向量组的秩分别为R(Ⅰ)=R(Ⅱ)=3，R(Ⅲ)=4．证明：向量组(Ⅳ)：α1，α2，α3，α5－α4的秩为4．

(91年)曲线y＝

(88年)过曲线y＝χ2(χ≥0)上某点A作一切线．使之与曲线及χ轴围成图形的面积为，求：(1)切点A的坐标．(2)过切点A的切线方程；(3)由上述图形绕z轴旋转而成旋转体体积V．

[2007年]设线性方程组(I)与方程(Ⅱ)：x1+2x2+x3=a-1．有公共解．求a的值与所有公共解．

(2014年)设函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上连续，且f(x)单调增加，0≤g(x)≤1，证明：(Ⅰ)0≤∫axg(t)dt≤x一a，x∈[a,b](Ⅱ)≤∫abf(x)g(x)dx。

Thecompanyhas______heavyfinanciallossesoverthelasttwoyears.

青光眼滤过手术后两年失败率是多少（）

56岁，外阴瘙痒2年。妇科检查：外阴左侧直径3cm的皮损，呈红色，边界清楚，表面粗糙。外阴活检报告为：外阴Paget病。属于下列何种病变

A．直接盖髓术B．间接盖髓术C．牙髓切断术D．牙髓开放术E．安抚治疗深龋备洞极敏感

(司考试题)甲公司依据买卖合同，在买受人乙公司尚未付清全部货款的情况下，将货物发运给乙公司。乙公司尚未收到该批货物时，向法院提出破产申请，且法院已裁定受理。对此，下列哪些选项是正确的?()

与艾滋病最密切相关的牙周组织疾病是()。

下列虚基类的声明中正确的是()。

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