设 (Ⅰ)求满足Aξ2=ξ1，A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2，ξ3； (Ⅱ)对(Ⅰ)中的任意向量ξ2，ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关．

admin2021-01-25 41

问题设

(Ⅰ)求满足Aξ₂=ξ₁，A²ξ₃=ξ₁的所有向量ξ₂，ξ₃；
(Ⅱ)对(Ⅰ)中的任意向量ξ₂，ξ₃，证明ξ₁，ξ₂，ξ₃线性无关．

选项

答案(Ⅰ)设ξ₂=(x₁，x₂，x₃)^T，解方程组Aξ₂=ξ₁，由 [A，ξ₁] [*] 得x₁=－x₂，x₃=1－2x₂(x₂任意)．令自由未知量x₂=－c₁，则得 ξ₂ [*] 其中c₁为任意常数．设ξ₃=(y₁，y₂，y₃)^T，解方程组A²ξ₂=ξ₁，由 [A²，ξ₁] [*] 得y₁=－[*]－y₂(y₂，y₃任意)．令自由未知量y₂=c₂，y₃=c₃，则得 [*] 其中c₂，c₃为任意常数． (Ⅱ)3个3维向量ξ₁，ξ₂，ξ₃线性无关的充要条件是3阶行列式D=|ξ₁ ξ₂ ξ₃|≠0．而 [*] 所以ξ₁，ξ₂，ξ₃线性无关．

解析

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考研数学三

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