2. 考研
  3. 设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=fˊ(0)=fˊ(1)=0，f(1)=1． 求证：存在ξ∈(0，1)，使｜fˊˊ(ξ)｜≥4．

设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=fˊ(0)=fˊ(1)=0，f(1)=1． 求证：存在ξ∈(0，1)，使｜fˊˊ(ξ)｜≥4．

admin2016-09-13  58
问题 设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=fˊ(0)=fˊ(1)=0，f(1)=1．
求证：存在ξ∈(0，1)，使｜fˊˊ(ξ)｜≥4．
选项
答案把函数f(x)在x=0展开成带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式，得 f(x)=f(0)+fˊ(0)x+[*]fˊˊ(ξ1)x2 (0＜ξ1＜x)． 在公式中取x=[*]，利用题设可得[*] 把函数f(x)在x=1展开成泰勒公式，得 f(x)=f(1)+fˊ(1)(x－1)+[*]fˊˊ(ξ2)(x－1)2 (x＜ξ2＜1)． 在公式中取x=[*]，利用题设可得[*] 两式相减消去未知的函数值f([*])即得 fˊˊ(ξ1)－fˊˊ(ξ2)=8=>｜fˊˊ(ξ1)｜+｜fˊˊ(ξ2)｜≥8． 从而，在ξ1和ξ2中至少有一个点，使得在该点的二阶导数绝对值不小于4，把该点取为ξ，就有ξ∈(0，1)，使｜fˊˊ(ξ)｜≥4．
解析
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考研数学三

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