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设函数f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=fˊ(0)=fˊ(1)=0,f(1)=1. 求证:存在ξ∈(0,1),使|fˊˊ(ξ)|≥4.
设函数f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=fˊ(0)=fˊ(1)=0,f(1)=1. 求证:存在ξ∈(0,1),使|fˊˊ(ξ)|≥4.
admin
2016-09-13
62
问题
设函数f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=fˊ(0)=fˊ(1)=0,f(1)=1.
求证:存在ξ∈(0,1),使|fˊˊ(ξ)|≥4.
选项
答案
把函数f(x)在x=0展开成带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式,得 f(x)=f(0)+fˊ(0)x+[*]fˊˊ(ξ
1
)x
2
(0<ξ
1
<x). 在公式中取x=[*],利用题设可得[*] 把函数f(x)在x=1展开成泰勒公式,得 f(x)=f(1)+fˊ(1)(x-1)+[*]fˊˊ(ξ
2
)(x-1)
2
(x<ξ
2
<1). 在公式中取x=[*],利用题设可得[*] 两式相减消去未知的函数值f([*])即得 fˊˊ(ξ
1
)-fˊˊ(ξ
2
)=8=>|fˊˊ(ξ
1
)|+|fˊˊ(ξ
2
)|≥8. 从而,在ξ
1
和ξ
2
中至少有一个点,使得在该点的二阶导数绝对值不小于4,把该点取为ξ,就有ξ∈(0,1),使|fˊˊ(ξ)|≥4.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/tCT4777K
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考研数学三
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